Hirdetés
- NVIDIA GeForce RTX 4060 / 4070 S/Ti/TiS (AD104/103)
- Azonnali informatikai kérdések órája
- Milyen TV-t vegyek?
- ThinkPad (NEM IdeaPad)
- AMD GPU-k jövője - amit tudni vélünk
- Milyen videókártyát?
- AMD K6-III, és minden ami RETRO - Oldschool tuning
- Milyen alaplapot vegyek?
- Vezeték nélküli fejhallgatók
- Milyen processzort vegyek?
Új hozzászólás Aktív témák
-
cocka
veterán
válasz
cellpeti
#1599
üzenetére
Csak hatmilliószor írtam le itt a topicban
, hogy összetett függvényeket úgy deriválunk, hogy a külső fv. deriváltját szorozzuk a belső fv. deriváltjával és ha annak is van belső fv.-e akkor azzal is.Na ebből következik, hogy ezt integrálásnál is figyelembe kell venni.
-
Löncsi
őstag
Először is, 2 valváltozó akkor független ha:
E(xy)=E(x)*E(y) , ez leírtad Te is.
Először itt az A értékét kell meghatározni, azaz olyan sűrűségfv-t kell készítened ami megfelel az axiómáknak (sűrűségfv integrálja R-en = 1), ez megvan.
I. E(xy)=f(x,y)-t beszorzod x*y-al és kiintegrálod R-en.
f(x)=f(x,y) , y- szerinti integrálja , ez a peremsűrűségfv
f(y)=f(x,y) , x- szerinti integrálja , ez a peremsűrűségfvII. E(x)=x*f(x) -t integrálod x szerint
III. E(y)=y*f(y) -t integrálod y szerintMajd megnézed hogy ez teljesül-e:
E(xy)=E(x)*E(y)Elég sokat kell számolgatni, érdemes Mathematicába v Matlabba megküldeni, ha lehetséges.
[ Szerkesztve ]
-
Löncsi
őstag
válasz
cellpeti
#1591
üzenetére
Hát, bizonyos szinten igen.
Ln[x]-hez nem tartozhat 0-nál kisebb x.
Ebben az esetben annyiban módusul a dolog, hogy (4x-3) miatt kicsit változik a bemenő paraméter,azaz x=0 sem megengedett már.
Értelmezési tart: x eleme [1,végtelen] intervallum, ha x eleme N.
Értelmezési tart: x eleme [3/4,végtelen] intervallum, ha x eleme R.Remélem nem mondtam hülyeséget..
[ Szerkesztve ]
-
Enjoy
addikt
Köszi, hallottam már róla, csak még nem találtam rá..
Molnárka-Miletics Edit tanít, ill. fog jövőre is, mert szerintem nagyon jól sikerült a vizsga.
Nem akarom elkiabálni de min. 4es
De csalódott lennék, ha 4es lesz 
Egyébként jófej tanár, ill. érthetően beszél, csak szerintem hiányosan adott le egy-két dolgot.
Többieknek is köszönöm az ajánlásokat
-
Tv
senior tag
Sziasztok!
Valszámból lenne szükségem némi segítségre. Már elég sokat gyakoroltam, de mindig sikerül olyan feladatokat kapnom, ami megfog. Például a következőt nem bírtam multkor megcsinálni:Adott egy kétváltozós sürüségfüggvény f(x,y)=A*(x+(y/2)) , ha 0<x<1 , 0<y<2
Lehet hogy nem ez volt pontosan a függvény de nem is ez a lényeges. A kérdés az volt, hogy x és y függetlenek-e.
Az első lépést tudom, hogy kettősintegrálni kell a megadott tartományban a függvényt, amely integrálnak 1-el kell egyenlőnek lennie, így megkapom belőle az A értékét. Ez ki is jött, jó is volt idáig. Na ezután nem tudom pontosan, hogy mi is a teendő. Tudom hogy akkor független két esemény ha például: P(a metszet b)= P(a)*P(b). De a fenti feladatnál egyt hogy jön ki? Eloszlásfüggvényt kell kihozni vagy peremeloszlást vagy mit? -
cocka
veterán
Ajánlanék egy jó könyvet amiből jól meg lehet tanulni az analízis példák gyakorlati megoldását, de hát ez sajnos egy miskolci egyetemi tankönyv, gondolom senki nem akar 303 km-t utazni, hogy megszerezze.
Meg van a Denkinger Gézás, a pontos címnek utánanézhetsz az antikvarium.hu-n. Őszintén szólva már halvány gőzöm nincs, hogy kiknek segítettem, de ha hasznos volt, akkor örülök.
-
Enjoy
addikt
Sajnos az órai előadások elég hiányosak, és nincs előírva semilyen kötelező irodalom, így az ember magára van hagyatkozva.
Megpróbálok mindennek magam utánajárni, de ha elakadok, akkor itt vagytok ti, akikre merek támaszkodni.Jah, s cocka: elég sokan köszönik a szakunkról a korábbi összefüggéseket, amiket írtál nekem segítségül.
[ Szerkesztve ]
-
Enjoy
addikt
Valaki nem tudja, hogy hogyan néz ki a következő fv ábrája: f(x)= -lnX
?Mert próbáltam kispekulálni, de nekem az jött ki eredményül, mintha egy általános logAb, ahol (0<A<1) fv. lenne
és nem vagyok benne biztos, hogy ez jó... ígyMert ha belegondolok, h -lnX = ln(X^-1) de annak nem úgy kéne kinézni, nem? :S
[ Szerkesztve ]
-
Jester01
veterán
válasz
Gyuker0
#1574
üzenetére
Ezekhez csak egy ábra kell, mégpedig egy derékszögű háromszög. Azontúl pedig a sin/cos/tg definíciók alapján egyszerűen adódik az eredmény. Pl. az első feladat: adott a szög és az átfogó, keressük a szemközti oldalt. Melyik az a szögfüggvény amiben ezek szerepelnek? Hát a szinusz: sin a = szemközti / átfogó. Ebből kettőt ismersz tehát a harmadik kiszámítása nem lehet gond.
-
Gyuker0
csendes tag
Sziasztok!
Holnapra meg kell csinálnom a suliba 10 feladatot, ha az alábbi három típusfeladatot megcsinálná valaki, rajzal, mindennnel, abból rábírnék jönni a többi lényegére, Légyszíves segítsetek!
1. Milyen magasra visz a 8,7m hosszú lejtő ha a vízszintessel 15fokos szöget zár be?
2. Egy egyenes körkúp nyílásszöge 46fok, magassága 24,6cm. Mekkora az alapkörének az átmérője?
3. Egy rombusz átlói 8,6cm illetve 12,4cm. Mekkorák a szögei és az átlói?
Köszönöm a segítséget előre is!
-
Nunder
őstag
válasz
lajafix
#1572
üzenetére
A levezetés az nem is annyira nagy para, inkább a környezetfüggetlen nyelvtan megadása az, ami rengeteg fejtörést okozott. Az nem is lett 100%-os. Veremautomata pedig úgy ahogy jó lett, de a tanárnő azt mondta, hogy kicsit még csiszolni kell rajta, mivel előfordulhat, hogy a végén becirkulál.
-
Nunder
őstag
Számítástudomány feladatokkal van egy kis problémám. Nincs meg a kellő háttérismeret, így nem tudom megoldani őket maradéktalanul.
A feladatok:
Legyen G a következő környezetfüggetlen nyelvtan:
S -> aB | bA
A -> a | aS | bAA
B -> b | bS | aBB
Keressünk az aaabbabbba szóhoz egy:
a) baloldali levezetést
b) jobboldali levezetést
c) derivációs fát!Keressünk olyan G környezetfüggetlen nyelvtant, melyre
a) L(G) = {xmyn | m, n € N0, n<m }Adjunk veremautomatákat, melyek az alábbi nyelveket ismerik fel:
a) L ={ aibj | 0 <=i<=j }A dőlt OFF részek a hatványkitevőt jelöli, csak nem tudtam máshogy érzékeltetni.
A válaszokat várom, sürgős lenne.
-
PuMbA
titán
Ja igen,azt elfelejtettem,hogy a ti ismert érték. Viszont ezzel [link] sikerült kiszámoltatni,pedig sok oldal nem tudott vele mit kezdeni.
"f'x4 = -(x3*x5^2-2*ti*x3*x5+ti^2*x3)*%e^(-x4*x5^2+2*ti*x4*x5-ti^2*x4)"
"f'x5 = -(2*x3*x4*x5-2*ti*x3*x4)*%e^(-x4*x5^2+2*ti*x4*x5-ti^2*x4)"[ Szerkesztve ]
-
cocka
veterán
Mint látható volt, a mathurl.com-on némi latex tudással felvértezve nagyon szép képleteket tudsz gyártani. Miért nem használjátok?
Egyrészt kevesebb félreértés lenne, másrészt sokkal érthetőbb lenne a feladvány, nem kéne kisilavizálni, hogy jelen esetben a ti mi a fene lehet.
i talán az imaginárius egység itt vagy mi?
Hol a végéről a dx4 dx5?
-
lajafix
addikt
válasz
cellpeti
#1558
üzenetére
mert erőlködsz, és izomból gyorsan akarod, mintegy legyünktúlrajtaúgyseértekhozzá. Garantált bukta.
lassan, nyugodtan, 'beleélve' magad. Ha nem érted akkor egy szintet vissza és meg kell nézni azt a definíciót amit nem értesz, amíg nem megy készségszinten addig kár továbblépni. Idő kell hozzá de napi 2 óránál többet nem kell a matekkal foglalkozni. Szintén felejtős a vizsga előtt 2 nappal a 'nézzük hát vajon, miről szól a diszkrét matek' , idő kell hozzá.
Löncsi: a kreditrendszer preferálja az erős matek alapot, szvsz helyesen.
[ Szerkesztve ]
-
Löncsi
őstag
Nem erről van szó, hanem a magyar oktatásról.
Gyakorlatilag egy jó természettudományos alapokkal rendelkező egyén könnyebben kap mérnök infós diplomát, mivel a tárgyak illetve a kreditek értéke ilyen arányban van kiosztva.
Egy brutál fizika 7 kredit, analízis 7 kredit, valszám 5 kredit stb..
Egy progos tárgy meg össz vissz 4, (Adatszerkezetek és algoritmusok) és amúgyis kevés progos tárgy van, nameg ezekbe több időt is kell sztem beleölni mint a matekokba/TT-s dolgokba.[ Szerkesztve ]
-
cocka
veterán
válasz
cellpeti
#1550
üzenetére
Itt a megoldás.
A sinx deriváltját kell vennem
Nem igaz! Nézd már meg azt amit összefüggésként írtam neked.
g(x) Mi a g(x)? g(x)=cos(x)
Akkor minek kell a deriváltja? Hát persze, hogy a cos(x)-nek.
Azért nem értettem a feladatot, mert a semmit emelted köbre! A sin és cos továbbra is változó maradt, a szorzás jel meg nem ez ×, hanem a pont.
[ Szerkesztve ]
-
cocka
veterán
válasz
cellpeti
#1548
üzenetére
Ez sajnos így értelmezhetetlen. \times operátort általában Descartes-szorzatoknál szokás használni vagy ha struktúrában mondjuk pl. új műveletet akarsz jelölni.
Na most egy operátort köbre emelni annak az ég világon semmi értelme.
Írd le pontosan, hogy hogy van a feladat, a számítások nem kellenek.
A függvényeket pedig nem simán sin x-nek kell írni, hanem \sin x-nek. Mivel ez így egy hárombetűből álló változó.
Így lenne ez eredetileg?
-
cellpeti
nagyúr
Ez a feladat egy f^n()f'() típusú.
Na most:
1. Elösször átírom a cosx alakot hatvány alakban.
2. A sinx deriváltját kell vennem.(ami cosx) -már itt nem tiszta,hogy sinx-ből,hogy lett -sinx,illetve a következő lépésben,hova tűnik a -sinx.Tud valaki ebben segíteni?
[ Szerkesztve ]
-
-
cocka
veterán
válasz
cellpeti
#1543
üzenetére
Mellesleg milyen szakos vagy, hogy ilyen analízis példákat kell megoldani?
Azt is lehet hogy nem képként írom ide a megoldást, hanem behozod, hogy:
És a szövegmezőbe bemásolod ezt:
\int\dfrac{\cos^{2}x-5}{1+\cos2x}=\int\dfrac{\cos^{2}x-5}{2\cos^{2}x}=\int\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2\cos^{2}x}=\int\dfrac{1}{2}-\int\dfrac{5}{2\cos^{2}x}
=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}\int\dfrac{1}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}\tan x+C[ Szerkesztve ]
-
-
dudika10
veterán
Igen, ha helyesen nevezi el az ember a szögeket akkor az gamma. De területszámításnál szoktak rá alfaként is hivatkozni, tehát nem tartom kizártnak, hogy a feladat is így adta meg. Megadhatta volna a kérdező, hogy melyik az alfa szög, akkor egyértelmű lenne.
Ki mondta, hogy bonyolult a feladat?
-
Gergello
addikt
Leírná valaki, hogy saját vektort, hogy kell meghatározni?
Mondjuk itt a feladat: karakterisztikus polinomot tudok csinálni belőle + kiszámolni a saját értékeket, de aztán?
A =
(0 -2)
(4 -2)(-Lambda -2)
(-4 2-Lambda)lambda^2 - 2lambda -8
sajátértékek: 4, -2
ez alapján próbálom, de nem értem
Azt tudom, hogy be kell helyettesíteni a saját értékeket a lambda helyére. Leírom belőle a 2 egyenletet, de aztán? (Wikipedias példán sem értem, hogy, hogy jön ki az 1/gyök 2)
Köszi!
[ Szerkesztve ]
-
#1530
labuwx
tag
róbert gida
#1528
labuwx
tag
válasz
róbert gida
#1528
üzenetére
Szívesen, a 3-as is kijött csak még le kell tisztáznom.
-
#1526
labuwx
tag
róbert gida
#1521
labuwx
tag
válasz
róbert gida
#1521
üzenetére
(2.)
xyz+xy+xz+yz+x+y+z+1=(x+1)(y+1)(z+1)=2233
2233=7*11*29
x>0; y>0; z>0 ==>> x+1>1; y+1>1; z+1>1
(x+1)(y+1)(z+1)= 7*11*29; =7*29*11; =11*7*29; =11*29*7; =29*7*11; =29*11*7; ==>>x=6 y=10 z=28
x=6 y=28 z=10
x=10 y=6 z=28
x=10 y=28 z=6
x=28 y=6 z=10
x=28 y=10 z=6[ Szerkesztve ]
-
cocka
veterán
Az tud igazán határértéket számolni, akinek van némi elképzelése a függvény képéről.
Láttam a feladataidat. Aranyosak.
Majd vizsgálódom. De úgy nehéz magyarázatokat adni, hogy csupán a motorikus számolási módokra koncentrálsz. A függvényképek segítenek a határértékszámítás megértésében. -
-
#1523
róbert gida
tag
cocka
#1522
róbert gida
tag
Vidékiek vagyunk de hasonló "elitgimi"-nek számít kis városunkban.A röhej az ,hogy ő humán tagozatos ráadásul ,és ezeket szorgalminak atták fel.A mértani feladatokat kimérve lerajzolva még ok. de bizonyítani nem tudom (anno én szaközibe jártam de xarra se emlékszem már).
[ Szerkesztve ]
-
#1522
cocka
veterán
róbert gida
#1521
cocka
veterán
válasz
róbert gida
#1521
üzenetére
És hova jár, hogy már elsőben ilyen gyönyörűségeket tanulnak?
Csak nem a Fazekasba vagy az Apáczaiba vagy hasonló elitgimibe? Azért mindenre nem tudom a választ, de hát próbálkozunk és majd csak kijön valami. Vagy nem.
[ Szerkesztve ]
-
#1521
róbert gida
tag
cocka
#1520
róbert gida
tag
Egyenlőre köszi
.Sajnos én 20 éve érettségiztem és a lányom elsős gimis feladatai ezek.Az én szellemi kapacitásomat az ilyen példák már meghaladják Van még egy pár példa ha zavarhatlak vele.
1.Az ABC egyenlő szárú derékszögű háromszög AC és BC befogóján úgy vesszük fel a DésE pontokat,hogy DE párhuzamos AB-vel és DE +EA =AB.Határozzuk meg EAB szög nagyságát.
2.xyz+xy+yz+xz+x+y+z=2232 Oldjuk meg az egyenletet a pozitív egész számok halmazán.3.Az ABC háromszög C csúcsánál fekvő belső szöge 45 fokos.Igazoljuk,hogy a háromszög magasságpontjának a C csúcstól vett távolsága egyenlő a háromszög AB oldalának hosszával.
[ Szerkesztve ]
-
cocka
veterán
Másrészt az is igaz, hogy a p/(p^(n-1)) tört csak akkor lehetne egész, ha a nevező 1.
Kérdés: Vajon mikor teljesül, hogy p^(n-1)=1 ?
logaritmus def.-ja alapján: n-1 = log (p)1. Na de log(p)1 az tetszőleges p-re 0. Akkor n=1 lenne, de a feltétel szerint n>=2. Hogy miért? Mert arról volt szó, hogy páronként!
Na most mivel n egész és 1 nem lehet, mivel 1 számot nem lehet párba állítani a semmivel
max. önmagával de aszonták, hogy KÜLÖNBÖZŐ pozitív egészek. Akkor? Tehát ezek alapján a válasz az, hogy nem léteznek ilyen számok és kész. Jöhetnek a cáfolatok.
[ Szerkesztve ]
-
#1519
cocka
veterán
róbert gida
#1508
cocka
veterán
válasz
róbert gida
#1508
üzenetére
Na leírom az 1-es feladat megoldási javaslatát (nem állítom, hogy biztosan ez a megfelelő út, de majd az okosabbak elmondják, hogy szerintük hogy kéne)
Mondjuk próbaképpen nézzük meg n=3-ra és n=4-re. n nyilván nem 0 és nem 1. A továbbiak a képeken:
-
cocka
veterán
Lényegében azt mint egy verset
elvileg tudnod kell, hogy páratlan pólus esetén a pólushely közvetlen környezetében a bal ill. jobb oldali határérték vagy +végtelen vagy -végtelen.Hogy hogyan döntöd el a végtelenben vett határérték alapján? Úgy hogy mivel más nevezetes pontja a fv.-nek azon a részen nincs és mivel az 1 pozitív ezért valószínűleg a 4 jobb oldalán a függvényérték is pozitív marad. Vagyis +végtelen.
Ha mondjuk nem +1-hez tartana a végtelenben, hanem ugyanígy lenne csak a +végtelenben vmi negatív számhoz vagy -végtelenbe tartana, akkor valószínűleg a 4 környezetében jobb oldalon a fv. a -végtelenbe, bal oldalon a +végtelenbe tartana. Ahhoz hogy a jelenlegi állapot megmaradjon, de -végtelenbe tartson a 4 jobb oldalán, akkor vagy páros pólusúnak kellene lennie a fv.-nek pl. x^2-4 lenne a nevezőben vagy újabb zérushelyekre lenne szükség esetleg venni kéne az egész fv.nek az ellentettjét pl. azt hogy (-x-3)/(x-4).
-
-
cocka
veterán
Hát ha belegondolsz ez józan paraszti ésszel is kiszámolható.
Ennek a függvénynek egy zérushelye és egyszeres pólushelye van.
Magyarul x=4-nél egyszeres a pólushely, mivel x páratlan hatványkitevővel szerepel és pólushely, mivel itt a függvény nincs értelmezve. (0 lesz a nevezőben)
Ha egyszeres a pólushely, akkor valószínűleg a 4 közvetlen környezetében a függvény elmászik a + illetve a - végtelenbe. Annak eldöntésére hogy a 4 bal vagy jobb oldali féloldali határértéke a +végtelen nézzük meg hogy van-e további zérushely a 4 környezetében és nézzük meg hogy a +végtelenben mennyi a fv. határértéke.
+ végtelennél a határérték 1 és további zérushely nincs. Ez azt jelenti, hogy a pozitív síknegyedben a fv. már nem metszi az x tengelyt. Az 1 pedig azt jelenti, hogy a jobb oldali határérték +végtelen lesz, a bal oldali pedig -végtelen.
0-ánál a fv. a mínusz háromnegyednél metszi az y tengelyt, az x-et pedig miután a -3 zérushely a -3-nál. Mínusz végtelenben a fv. határértéke is 1, ezért -3-tól negatív irányban a fv. csak közelít a +1-hez.
Ennek alapján már akár fel is rajzolható a fv. De a kérdésre a válasz ott van a szövegben félkövérrel.
-
#1515
cocka
veterán
róbert gida
#1508
cocka
veterán
válasz
róbert gida
#1508
üzenetére
Egyelőre a kettes feladatban tudok segíteni.
Kiszámolod az első pár hatványát mondjuk 5-ig és megnézed az utolsó 6 jegy hogyan változik.
nulladikon: 000001
elsőn: 002001
másodikon: 004001
harmadikon: 006001
negyediken 008001A szabályszerűség tehát az, hogy az utolsó három jegy mindig 001 bármely pozitív hatványát ha veszed, az az előtti 3 jegy pedig ha n a hatványkitevő, akkor 2n-nel egyenlő. Kérdés melyik az utolsó páros pozitív egész, ami háromjegyű? Igen a 998.
Akkor a kitevő 499 lesz, tehát ha innentől növelem a kitevőt újra eggyel, akkor az eredményekben ugyanazokat a végződéseket látom viszont, mint ahogy a sorozat kezdődött. Gyakorlatilag modulo 500-ra nézed a kitevőket.
Na most a kérdés már csak az hogy a 2002 500-zal osztva mennyi maradékot ad? Hát kettőt, ezért a 2001^2002-en szám utolsó hat jegye pontosan ugyanaz lesz, mint a 2001^2-ené. Ilyen egyszerű. -
cocka
veterán
válasz
cellpeti
#1511
üzenetére
Külső: valami a négyzeten gyakorlatilag: izébigyó^2 deriváltja 2*izébigyó*(izébigyó)'
Belső: hát maga az izébigyó, ami jelen esetben cos x.
Régi típusú függvénytáblában is benne van: (f @ g)' = (f' @ g)*g'
f a külső függvény, g a belső. Vagy ha így jobban tetszik: [f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)
-
#1508
róbert gida
tag
róbert gida
tag
Sziasztok !
A következő feladatokban kérném a segítségeteket:
1.:
Található-e "n" darab olyan páronként különböző pozitív egész szám, hogy közülük bármelyik osztható a többiek szorzatával?2.:
Határozzuk meg a 2001 a 2002.-en tízes számrendszerbeli alakjának utolsó 6 számjegyét
3.:
Az ABC háromszög C csúcsánál fekvő belső szöge 45 fokos. Igazoljuk, hogy a háromszög magasságpontjának a C csúcstól vett távolsága egyenlő a háromszög AB oldalának hosszával!
köszi előre is:
[ Szerkesztve ]
-
bandus
veterán
sziasztok!
van aki elég penge itt, valamely matematikai programban? egy mérési adatsorra kellene illesztenem egy a*exp(b*x)+c típusú fv-t, amiben a, b, c konstansok, de sehogysem akar összejönni. meg egy aszimptota is kellene nekem majd hozzá. próbálkoztam már maple-el, matlabbal, sage-el, de semmi. bár még a mathematica meg az origin hátravan
előre is köszi
-
Louro
őstag
válasz
cellpeti
#1501
üzenetére
Na én úgy indultam el, hogy vagy rosszul írtad le vagy tényleg hibás. Ha x^(2/3), akkor tényleg nem igaz, hogy x^(2/3) =/= x^(5/15), de nem írtad kérdőjelbe a hatványkitevőt, így lehet csak x^2 és azt még 3-mal el kell osztani. Úgy meglesem, hogy mi jönne ki. Mert akkor már nem annyira triviális.
, hogy összetett függvényeket úgy deriválunk, hogy a külső fv. deriváltját szorozzuk a belső fv. deriváltjával és ha annak is van belső fv.-e akkor azzal is.
és valóban, a zárójel nagyon nem mindegy 
Pár hsz-el lejjebb linkeltem egy fv rajzoló progit, szerintem marha jó. Azon még le is tudod ellenőrizni magad 
Új hozzászólás Aktív témák
Hirdetés
axioma- vrob: 1992-1993, a játék folytatódik
- Politika
- Milyen okostelefont vegyek?
- Xbox tulajok OFF topicja
- Ukrajnai háború
- Hivatalos a OnePlus 13 startdátuma
- NVIDIA GeForce RTX 4060 / 4070 S/Ti/TiS (AD104/103)
- Telekom otthoni szolgáltatások (TV, internet, telefon)
- Azonnali informatikai kérdések órája
- Horgász topik
- További aktív témák...
Állásajánlatok
Cég: PCMENTOR SZERVIZ KFT.
Város: Budapest